Question

12．已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=qS_n-1+1，其中q＞0，n＞1，n∈N^*．
（1）若2a₂，a₃，a₂+2 成等差数列，求{a_n}的通项公式；
（2）设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的离心率为e_n，且e₂=3，求e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$+…+e${\;}_{n}^{2}$．

Answer 1

分析 （1）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a_n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a₂，a₃，a₂+2成等差数列求得公比q的值，可得{a_n}的通项公式．
（2）由（1）可得a_n=q^n-1；又由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=1 的离心率为e_n，且e₂=3，分析可得e₂=q=2$\sqrt{2}$，进而可得数列{a_n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，运用分组求和法计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）：∵S_n+1=qS_n+1 ①，
∴当n≥2时，S_n=qS_n-1+1 ②，两式相减可得a_n+1=q•a_n，
即从第二项开始，数列{a_n}为等比数列，公比为q．
当n=1时，
∵数列{a_n}的首项为1，
∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，
∴a₂ =a₁•q，
∴数列{a_n}为等比数列，公比为q．
∵2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，
∴2a₃ =2a₂+a₂+2，
∴2q²=2q+q+2，求得q=2，
则数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）由（1）可得数列{a_n}是以1为首项，公比为q的等比数列，
则a_n=1×q^n-1=q^n-1；
若e₂=3，则e₂=$\sqrt{1+{a}_{2}^{2}}$=3，
解可得a₂=2$\sqrt{2}$，
则a₂=q=2$\sqrt{2}$，即q=2$\sqrt{2}$，
a_n=1×q^n-1=q^n-1=（2$\sqrt{2}$）^n-1，
则e_n²=1+a_n²=1+8^n-1，
故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+8+8²+…+8^n-1）=n+$\frac{{8}^{n}-1}{7}$

点评 本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．