Question

设函数f（x）=x²+

2

x

（x≠0），当a＞1时，方程f（x）=f（a）的实根个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：求导确定函数的单调性，并作出其简图，由图可得答案．

解答： 解：f′（x）=2x-

2

x2

，
①当x＞1，即f′（x）＞0时，函数f（x）=x²+

2

x

在（1，+∞）上是增函数，
②当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）=x²+

2

x

在（0，1）上是减函数，
③当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）=x²+

2

x

在（-∞，0）上是减函数，
作出其简图如下图：

则方程方程f（x）=f（a）的实根个数为3个．
故答案为：3．

点评：本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的思想及学生作图的能力，属于中档题．