Question

过原点的直线l与曲线C：

x2

3

+y2=1相交，若直线l被曲线C所截得的线段长不大于

6

，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

• A、

  π

  6

  ≤α≤

  5π

  6

• B、

  π

  6

  ＜α＜

  2π

  3

• C、

  π

  3

  ≤α≤

  2π

  3

• D、

  π

  4

  ≤α≤

  3π

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设该直线l的方程，联立直线与曲线C方程，利用弦长公式，结合直线l被曲线C所截得的线段长不大于

6

，求出k的范围，即可求出直线l的倾斜角α的取值范围．

解答： 解：设该直线l的方程为：y=kx
联立直线与曲线C方程可得：（1+3k²）x²=3
∴x₁-x₂=2

3 1+3k2

，
∴截得弦长为

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•2

3 1+3k2

∵直线L被曲线C所接的线段长不大于

6

即

1+k2

•2

3 1+3k2

≤

6

∴k²≥1
解得k≤-1或k≥1
∵k=tanα
∴45°≤α≤135°
故选：D．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．