Question

已知函数f（x）=

x

x2-1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数还是减函数；
（3）设函数g（x）=f（x）•（x+1），求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）令0＜x₁＜x₂＜1，则有f（x₂）-f（x₁）＜0即可判断函数在（0，1）上是增函数还是减函数；
（3）g（x）=1+

1

x-1

，x不能等于1，结合函数的图象，故可求函数g（x）的值域．

解答： 解：（1）f（-x）=

-x

x2-1

=-

x

x2-1

=-f（x），故函数f（x）是奇函数；
（2）令0＜x₁＜x₂＜1，则有f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22-1

-

x1

x12-1

=

(x1-x2)(x1x2+1)

(x22-1)(x12-1)

＜0，
故函数f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）g（x）=f（x）•（x+1）=

x

x-1

=1+

1

x-1

由x不能等于1，结合函数的图象，故函数g（x）的值域为（-∞，1）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考察了函数的性质及应用，属于中档题．