Question

已知数列{a_n}满足a₂=2，S_n为其前n项和，且S_n=

an(n+1)

2

（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求证：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₂=2，S_n为其前n项和，且S_n=

an(n+1)

2

，即可求a₁的值；
（Ⅱ）通过 a_n=S_n-S_n-1，化简即可证明：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）求出数列{a_n}的通项公式，即可证明数列是等差数列．

解答： （共13分）
（Ⅰ）解：由题意知：S2=

3a2

2

，即a1+a2=

3a2

2

．
所以 a₂=2a₁．…（2分）
因为 a₂=2，
所以 a₁=1．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为 Sn=

an(n+1)

2

(n=1，2，3，…)，
所以 Sn-1=

an-1(n-1+1)

2

（n≥2）．…（4分）
因为 a_n=S_n-S_n-1，…（6分）
所以 an=

(n+1)an-nan-1

2

，即（n-1）a_n=na_n-1．
因为 n≥2，
所以 an=

n

n-1

an-1．…（8分）
（Ⅲ）解：数列{a_n}是等差数列．
理由如下：…（9分）
由（Ⅱ）得：

an

n

=

an-1

n-1

(n=2，3，4，…)．
所以 

an

n

=a1=1(n≥2)，即a_n=n（n≥2）．…（11分）
由（Ⅰ）知：a₁=1，所以 a_n=n（n≥1）．
所以 数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．…（13分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的判断，考查转化思想以及计算能力．