Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若函数g（x）=

f(x)-x

x

是奇函数，求函数h（x）=lg

b+1-2x

b+2x

的值域；
（2）若a=2且当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值与最小值之差总不大于6，试求b的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，可得b=1，再由指数函数和对数函数的值域和单调性，即可得到所求值域；
（2）求出二次函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，进而确定最值，解不等式，即可得到b的取值范围．

解答： 解：（1）g（x）=

f(x)-x

x

=ax+

c

x

+b-1，由g（x）为奇函数，则g（-x）=-g（x），
即-ax-

c

x

+b-1=-ax-

c

x

-b+1，则有b=1．
则h（x）=lg

2-2x

1+2x

，令t=

2-2x

1+2x

=-1+

3

1+2x

∈（0，2），则有h（x）＜lg2．
即有h（x）的值域为（-∞，lg2）；
（2）由题意：f(x)=2x2+bx+c=2(x+

b

4

)2+c-

b2

8

，
设f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值分别为M，m
当

|b|

4

≥1，|b|≥4，M-m=|f(1)-f(-1)|=2|b|≥8，与题意不符，舍去；
当|b|＜4，M=max{f（1），f（-1）}=2+|b|+c，m=c-

b2

8

，
则M-m=2+|b|+c-c+

b2

8

=2+|b|+

b2

8

≤6，解得，|b|≤4

3

-4，
即为4-4

3

≤b≤4

3

-4．
综上，可得b的取值范围是[4-4

3

，4

3

-4]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和值域，考查二次函数的值域问题，注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．