Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x-2，则不等式f（log₂x）＞0的解集为（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（

  1

  2

  ，1）∪（2，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x-2，可得：f（x）为增函数，又由f（x）定义在R上的偶函数，可得：f（x）＞0时，x＞1，或x＜-1，故f（log₂x）＞0时，log₂x＞1，或log₂x＜-1．

解答： 解：当x∈[0，+∞）时，f（x）=2^x-2，
∴f（1）=0，
又∵当x∈[0，+∞）时，f（x）为增函数，又是定义在R上的偶函数，
故f（x）＞0时，x＞1，或x＜-1，
故f（log₂x）＞0时，log₂x＞1，或log₂x＜-1，
解得：x∈（0，

1

2

）∪（2，+∞），
故选：D

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，指数函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．