在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$.在以O为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C2是圆心在极轴上.且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M(1.$\frac{\sqrt{3}}{2}$)对应的参数φ=$\frac{π}{3}$.射线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若点A，B的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），且两点均在曲线C₁上，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$的值．

分析（1）把点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），化简解出即可得出．设圆C₂的半径为R，由题意可得：圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ，把点D（1，$\frac{π}{3}$）代入解得R．可得圆C₂的j极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²，代入配方化简即可得出直角坐标方程．
（2）把两点（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入曲线C₁，化简整理即可得出．

解答解：（1）把点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．设圆C₂的半径为R，由题意可得：圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ，
把点D（1，$\frac{π}{3}$）代入可得：1=2R$cos\frac{π}{3}$，解得R=1．
∴圆C₂的j极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（2）∵两点（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）均在曲线C₁上，
∴$\frac{（{ρ}_{1}cosθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{1}sinθ）^{2}$=1，$\frac{（{ρ}_{2}sinθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{2}cosθ）^{2}$=1，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$=$\frac{5}{4}$．．