Question

16．函数f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域为（-∞，5]．

Answer 1

分析 利用换元法转化为二次函数求值域．

解答 解：函数f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x，
令：t=$\sqrt{x+1}$，（t≥0），则：x=t²-1，
那么函数f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x转化为g（t）=4t-t²+1，（t≥0），
根据二次函数的性质可知：
开口向下，对称轴t=2．
当t=2时，函数g（t）取得最大值为5．
∴函数g（t）的值域为（-∞，5]，即函数f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域（-∞，5]．
故答案为：（-∞，5]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择