Question

16．已知向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，其中O为坐标原点，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$为非负实数
（1）求动点M的轨迹C₁的方程
（2）若将曲线C₁向左平移一个单位得到曲线C₂，试指出C₂为何种类型的曲线；
（3）若0＜k＜1，F₁、F₂是（2）中曲线C₂的两个焦点，当点P在C₂上运动时，求∠F₁PF₂取得最大值时对应点P的位置．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），动点M到定直线y=1的距离d=|y-1|，由题意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$为非负实数，代入可得（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
（2）将曲线C₁向左平移一个单位得到曲线C₂，曲线${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，分类k=0时，曲线${C_2}表示圆{x^2}+{y^2}=1$，$当0＜k＜1时，曲线{C_2}表示焦点在x轴上的椭圆{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，当k=1时，曲线C₂表示直线y=0，即表示x轴，$当k＞1时，曲线{C_2}表示焦点在x轴上的双曲线{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由题意可${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直线P{F_1}的斜率为\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直线P{F_2}的斜率为\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
由题意可知tan∠F₁PF₂=k=$\frac{2\sqrt{k}}{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}$，由函数的单调性，即可求得即当P点位于短轴顶点，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，时∠F₁PF₂最大．

解答 解：（1）设M（x，y），由向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，
动点M到定直线y=1的距离d=|y-1|，
由题意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$为非负实数，
∴（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
得出M的轨迹${C_1}：（k-1）{（x-1）^2}-{y^2}=k-1$；
（2）由（1）可知，将曲线C₁向左平移一个单位得到曲线C₂，
曲线${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，
当k=0时，曲线${C_2}表示圆{x^2}+{y^2}=1$，
$当0＜k＜1时，曲线{C_2}表示焦点在x轴上的椭圆{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，
当k=1时，曲线C₂表示直线y=0，即表示x轴，
$当k＞1时，曲线{C_2}表示焦点在x轴上的双曲线{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由椭圆对称性，不妨设椭圆上的任意一点为P（x，y）（y＞0），
易知${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直线P{F_1}的斜率为\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直线P{F_2}的斜率为\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
故$tan∠{F_1}P{F_2}=\frac{{\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}-\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}{{1+\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}•\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{{x^2}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{1-\frac{y^2}{1-k}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}}}{{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}}$，
令$f（y）=\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y，则f（y）在（0，+∞）上递减，而y∈（{0，\sqrt{1-k}}]$，
故$f（y）∈[{\sqrt{1-k}-\frac{k}{{\sqrt{1-k}}}，+∞}）$，
即当P点位于短轴顶点，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，时∠F₁PF₂最大．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，考查曲线的平移，椭圆及双曲线的方程的应用，考查函数的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．