Question

3．设平面直角坐标系的原点为O，直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，两坐标系的单位长度相等．动点M（ρ，θ）（ρ＞0）且ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求直角坐标系下点M的轨迹C；
（2）求直线l被C截得的线段的长．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求出动点M的直角坐标方程，即可得出直角坐标系下点M的轨迹C；
（2）直线方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，即可求直线l被C截得的线段的长．

解答 解：（1）ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），可化为ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2$\sqrt{3}$y，即（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
表示以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，2为半径的圆；
（2）直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为x+y-2-$\sqrt{3}$=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴直线l被C截得的线段的长=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查圆心到直线的距离公式，属于中档题．