Question

若有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m是正整数）满足条件：a_i=a_m-i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．
（Ⅰ）若{b_n}是25项的“对称数列”，且b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅是首项为1，公比为2的等比数列．求{b_n}的所有项和S；
（Ⅱ）若{c_n}是50项的“对称数列”，且c₂₆，c₂₇，c₂₈，…，c₅₀是首项为1，公差为2的等差数列．求{c_n}的前n项和S_n，1≤n≤50，n∈N^*．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅是首项为1，公比为2的等比数列求得b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅的值，然后结合对称数列的概念求得b₁，b₂，…，b₁₄的值，则{b_n}的所有项和S可求；
（Ⅱ）依题意求出c₅₀=c₂₆+24×2=49，然后根据对称数列的概念求得c₁=c₅₀=49，c₂=c₄₉=47，…，c₂₅=c₂₆=1．则分当1≤n≤25和26≤n≤50求得{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，b₁₃=1，b₁₄=2，…b₂₅=b13•212=212．
则b1=b25=212，b2=b24=211，…b₁₂=b₁₄=2．
S=2(b1+b2+…+b12)+1=2×

212[1-( 1 2 )12]

1- 1 2

+1=2¹⁴-3；
（Ⅱ）依题意，c₅₀=c₂₆+24×2=49，
∵{c_n}是50项的“对称数列”，
∴c₁=c₅₀=49，c₂=c₄₉=47，…，c₂₅=c₂₆=1．
∴当1≤n≤25时，Sn=-n2+50n；
当26≤n≤50时，Sn=S25+(n-25)+

1

2

(n-25)(n-26)×2=n²-50n+1250．
∴Sn=

-n2+50n，1≤n≤25，n∈N* n2-50n+1250，26≤n≤50，n∈N*

．

点评：本题是新定义题，考查了对称数列和等比数列的性质，考查了对称数列和等比数列的前n项和，是中档题．