Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足：①f（2）=0，②关于x的方程f（x）=x有两个相等的实数根．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，用待定系数法求出函数f（x）的解析式；
（2）讨论二次函数f（x）的对称轴x=1在区间[t，t+3]的左边？右边？在区间[t，t+3]上？求出f（x）在[t，t+3]上的最大值．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx满足：①f（2）=0，②关于x的方程f（x）=x有两个相等的实数根；
∴

4a+2b=0 (b-1)2=0

，
解得b=1，a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）二次函数f（x）=-

1

2

x²+x的对称轴是x=1，
当t≤-2时，f（x）在[t，t+3]上单调递增，f（x）_max=f（t+3）=-

(t+3)(t+1)

2

；
当-2＜t≤1时，f（x）_max=f（1）=

1

2

；
当t＞1时，f（x）在[t，t+3]上单调递减，f（x）_max=f（t）=

t(2-t)

2

；
综上所述，t≤-2时，f（x）_max=-

(t+3)(t+1)

2

；
-2＜t≤1时，f（x）_max=f（1）=

1

2

；
t＞1时，f（x）_max=

t(2-t)

2

．

点评：本题考查了求二次函数的解析式以及求二次函数在闭区间上的最值问题，是易错题．