Question

已知正数x、y满足xy=x+y+3．
（1）求xy的范围；
（2）求x+y的范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据x+y≥2

xy

，将xy=x+y+3中的x+y消去，然后解不等式可求出xy的范围，注意等号成立的条件；
（2）根据xy≤(

x+y

2

)2，将xy=x+y+3中的xy消去，然后解不等式可求出x+y的范围，注意等号成立的条件．

解答： 解：（1）∵正数x、y满足x+y+3=xy，
∴xy=x+y+3≥3+2

xy

，即xy-2

xy

-3≥0，可以变形为（

xy

-3）（

xy

+1）≥0，
∴

xy

≥3，即xy≥9，
当且仅当x=y=3时取等号，
∴xy的范围是[9，+∞）；
（2）∵x、y均为正数，
∴x+y≥2

xy

，则xy≤(

x+y

2

)2，
∴x+y+3=xy≤(

x+y

2

)2，即（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
化简可得，（x+y+2）（x+y-6）≥0，
∴x+y≥6，
当且仅当x=y=3时取等号，
∴x+y的范围是[6，+∞）．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．