Question

某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件，因2008年调整黄金周的影响，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x．已知得利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）2007年该企业的利润是多少？
（2）写出2008年预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（3）为使2008年的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x应是多少？此时最大利润是多少？

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用利润=（出厂价-投入成本）×年销售量，可得结论；
（2）确定2008年出厂价，投入成本，利用利润=（出厂价-投入成本）×年销售量，可得函数关系式；
（3）确定函数的对称轴，即可求出最大利润．

解答： 解：（1）∵2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件，
∴2007年该企业的利润是10000×（1.2-1）=2000（元）；
（2）2008年出厂价：1.2×（1+0.75x）（元），投入成本：1×（1+x）（元）由题意y=10000×（1+0.8x）×[.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]，化简得y=-800x²+600x+2000，x∈（0，1）
（3）由（2），y=-200（4x²-3x-10），函数的对称轴为x=

3

8

∵x∈（0，1），∴当x=

3

8

时，函数存在最大值y_max=2112.5（元）
∴当投入成本比例为

3

8

时，2008年利润最大，且最大利润为2112.5元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际题，确定函数解析式是关键．