Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N⁺，都有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{

1

anan+2

}的前n项和为S_n，不等式S_n＞

1

3

log_a^（1-a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意知，a₁³+a₂³+…+a_n³+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，与已知关系式a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²相减，可求得an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，同理可得a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，继而可判断数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，于是可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）知a_n=n，利用裂项法可求

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），从而可求得S_n=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

），由S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，可判断数列{S_n}单调递增，从而可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
则有a₁³+a₂³+…+a_n³+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
∵a_n＞0，
∴an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同样有an2=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=a_n+1+a_n．
∴a_n+1-a_n=1，又a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
（2）由（1）知a_n=n，则

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴S_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

an-1an+1

+

1

anan+2

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∵S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴数列{S_n}单调递增，
∴（S_n）_min=S₁=

1

3

．
要使不等式S_n＞

1

3

log_a（1-a）对任意正整数n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

log_a（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及数列{S_n}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题．