题目内容
已知数列{an}，圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2：x2+y2+2x+2y-2=0．若圆C1与C2交于A、B两点，且AB平分圆C2的周长．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若a1=-3，求圆C1被直线x+2y+2=0截得弦长最小时圆C1的方程．
（Ⅲ）若圆C3为（Ⅱ）中求出的圆C1的同心圆，且半径为2．设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C2和C3相交，且直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅱ）若a1=-3，求圆C1被直线x+2y+2=0截得弦长最小时圆C1的方程．
（Ⅲ）若圆C3为（Ⅱ）中求出的圆C1的同心圆，且半径为2．设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C2和C3相交，且直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
考点：直线和圆的方程的应用
专题：直线与圆
分析：（Ⅰ）首先把圆的一般式转化为标准式，进一步利用圆的特殊位置求出关系式，进一步求的结论．
（Ⅱ）利用二次函数的最值问题求得圆的方程．
（Ⅲ）⊙C3的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
=
，化简得出：（a-b）k=
+b+a或（a+b+2）k=b-a+
因k的取值有无穷多个，所以对应系数为0.
=0或
求解即可得出P点坐标．
（Ⅱ）利用二次函数的最值问题求得圆的方程．
（Ⅲ）⊙C3的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
| |-k+1+b-ka| | ||
|
|-
| ||
|
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
|
|
解答：
解：（Ⅰ）圆C1：x2+y2-2anx+2an+1y-1=0转化为：（x-an）2+（y+an+1）2=a
+a
+1，
圆心坐标为：（an，an+1），半径为：
，
圆C2，（x+1）2+（y+1）2=4，圆心坐标为：（-1，-1），半径为2，
圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
则：|C1C2|2+r22=r12，
即：（an+1）2+（an+1-1）2+4=an2+an+12+1，
求得：an+1-an=
（常数），
所以：数列{an}是等差数列，
（Ⅱ）∵a1=-3，
∴an=
-
，
r1=
=
，
∵n∈N*，∴n=2时，r1取最小，
∵d=
，
∴r 12=（
）2+
，
∴此时弦长也最短，
∴圆C1的方程为：x2+y2+x+4y-1=0
（Ⅲ）C3：（x+
）2+（y+2）2=4，
设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l2方程为：y-b=-
（x-a），
∵⊙C3和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C3截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C3的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即
=
，
整理得|-k+1+b-ka|=|-
-k-kb-a|，
∴即-k+1+b-ka|=±（-
-k-kb-a）
（a-b）k=
+b+a或（a+b+2）k=b-a+
因k的取值有无穷多个，所以
=0或
解得
或
这样的点只可能是点P1（-
，-
）或点P2（-
，-
）
故所有满足条件的点P1（-
，-
）或点P2（-
，-
）
2 n |
2 n+1 |
圆心坐标为：（an，an+1），半径为：
| an2+an+12+1 |
圆C2，（x+1）2+（y+1）2=4，圆心坐标为：（-1，-1），半径为2，
圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
则：|C1C2|2+r22=r12，
即：（an+1）2+（an+1-1）2+4=an2+an+12+1，
求得：an+1-an=
| 5 |
| 2 |
所以：数列{an}是等差数列，
（Ⅱ）∵a1=-3，
∴an=
| 5n |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
r1=
| an2+an+12+1 |
| 1 |
| 2 |
| 50n2-170n+161 |
∵n∈N*，∴n=2时，r1取最小，
∵d=
| 1 | ||
|
∴r 12=（
| l |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
∴此时弦长也最短，
∴圆C1的方程为：x2+y2+x+4y-1=0
（Ⅲ）C3：（x+
| 1 |
| 2 |
设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l2方程为：y-b=-
| 1 |
| k |
∵⊙C3和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C3截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C3的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即
| |-k+1+b-ka| | ||
|
|-
| ||
|
整理得|-k+1+b-ka|=|-
| 1 |
| 2 |
∴即-k+1+b-ka|=±（-
| 1 |
| 2 |
（a-b）k=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因k的取值有无穷多个，所以
|
|
解得
|
|
这样的点只可能是点P1（-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
故所有满足条件的点P1（-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
点评：本题综合考察了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，化简难度较大，本题还融合了数列的知识，要把圆的知识掌握的很好，属于难题．
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