Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且

a

cosA

=

b

2cosB

=

c

3cosC

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．
（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

cosA

=

b

2cosB

=

c

3cosC

．
∴

sinA

cosA

=

sinB

2cosB

=

sinC

3cosC

，
即tanA=

1

2

tanB=

1

3

tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵tanA=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

，
∴tanA=-

2tanA+3tanA

1-6tan2A

，整理求得tan²A=1，tanA=±1，
当tanA=-1时，tanB=-2，则A，B均为锐角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，
∴tanA=1，A=

π

4

．
（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∴tanB=2，tanC=3，
∴sinB=

2

5

，sinC=

3

10

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

sinB•a

sinA

=

2 10

5

a，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

a•

2 10

5

•a×

3

10

=

3a2

5

=3，
∴a²=5，a=

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正、余弦定理在解三角形时，进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断．