Question

已知(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）写出它展开式中的所有有理项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程解得；
（2）先求得展开式的通项公式，在通项公式中令x的幂指数为有理数，求得r的值，即可求得展开式中有理项．

解答： 解：（1）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．依题意得

C

8 n

+

C

10 n

=

C

9 n

，写成：

n!

8!(n-8)!

+

n!

10!(n-10)!

=2•

n!

9!(n-9)!

化简得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
因为n＜15，所以n=14．
（2）展开式的通项Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

，
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，
所以展开式中的有理项共3项是：r=0，T1=

C

0 14

x7=x7；r=6，T7=

C

6 14

x6=164x6；r=12，T13=

C

12 14

x5=91x5

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题、等差数列的定义．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．属于中档题．