Question

在△ABC中，B为它的一个内角，已知f（B）=4sinBsin²(

π

4

+

B

2

)+cos2B，且|f（B）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：将函数f（B）进行化简，求出函数f（B）的取值范围即可得到结论．

解答： 解：f（B）=4sinBsin²(

π

4

+

B

2

)+cos2B=4sinB•

1-cos( π 2 +B)

2

+cos2B=2sinB+2sin²B+1-2sin²B=2sinB+1，
∵B是△ABC的一个内角，
∴0＜B＜π，
即1＜2sinB+1≤3，
即1＜f（B）≤3，
要使|f（B）-m|＜2恒成立，
即m-2＜f（B）＜2+m，
∴

m+2＞3 m-2≤1

，
∴

m＞1 m≤3

，
即1＜m≤3，
故实数m的取值范围是（1，3]．

点评：本题主要考查不等式恒成立的应用，利用三角函数将函数f（B）进行化简是解决本题的关键．