Question

已知焦点为F，准线为l的抛物线Γ：x²=2py（p＞0）经过点（-2

3

，3），其中A，B是抛物线上两个动点，O为坐标原点．
（1）求抛物线Γ的方程．
（2）若OA⊥OB，求线段AB的中点P的轨迹方程．
（3）若∠AFB=90°，线段AB的中点M，点M在直线l上的投影为N，求

|MN|

|AB|

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线Γ：x²=2py（p＞0）经过点（-2

3

，3），求出p，即可求抛物线Γ的方程．
（2）若OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，利用2x=x₂+x₁，2y=

x12

4

+

x22

4

，即可求线段AB的中点P的轨迹方程．
（3）设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：（1）∵抛物线Γ：x²=2py（p＞0）经过点（-2

3

，3），
∴12=6p，∴p=2，
∴抛物线Γ的方程为x²=4y．
（2）设P（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），则
2x=x₂+x₁，2y=

x12

4

+

x22

4

∴x₂x₁=2x²-4y，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+

x12

4

•

x22

4

=0，
∴x₂x₁=-16，
∴2x²-4y=-16，
即y=

1

2

x²+4，
∴线段AB的中点P的轨迹方程是y=

1

2

x²+4；
（3）设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BP　　
由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

） ²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

2 2 (a+b)

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

2

2

．

点评：本题着重考查抛物线的方程、考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．