Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=λS_n-1，其中λ为常数．
（1）证明：a_n+2-a_n=λ；
（2）若{a_n}为等差数列，求λ的值．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意得

anan+1=λSn-1① an+1an+2=λSn+1-1②

，②-①整理即可证得a_n+2-a_n=λ；
（2）a_n为等差数列，且a₁=1，设公差为d，易求λ=2d，在a_na_n+1=λS_n-1中，令n=1，可求得d=2，λ=4，再检验即可．

解答： （1）证明：由已知得：

anan+1=λSn-1① an+1an+2=λSn+1-1②

，
 ②-①得a_n+1（a_n+2-a_n）=λa_n+1．
∵a_n≠0∴a_n+2-a_n=λ．--7′
（2）解：∵a_n为等差数列，且a₁=1，设公差为d，则显然有λ=2d．--------8′
在a_na_n+1=λS_n-1中，令n=1，λ=2d，得d=2，λ=4----------14′
此时，a_n=2n-1（n∈N⁺），验证a_na_n+1=λS_n-1对n∈N⁺成立．----------16′

点评：本题考查等差关系的确定，考查推理证明与运算求解能力，属于中档题．