Question

下列叙述正确的是（　　）

• A、命题：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定为：?x∈R，均有x³+sinx+2＜0
• B、命题：若x²=1，则x=1或x=-1的逆否命题为：若x≠1或x≠-1，则x²≠0
• C、己知n∈N，则幂函数y=x^3n-7为偶函数，且在x∈（0，+∞）上单调递减的充分必要条件为n=1
• D、函数y=log₂

  x+m

  3-x

  图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=±1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A：写出命题：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定，判断即可；
B：写出命题：若x²=1，则x=1或x=-1的逆否命题，判断即可；
C：依题意，可求得n=1，从而可判断其正误；
D：令y=f（x）=log₂

x+m

3-x

，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2-x）=0，解得m=1，从而可判断其正误．

解答： 解：A：命题：?x∈R，使x³+sinx+2＜0的否定为：?x∈R，均有x³+sinx+2≥0，故A错误；
B：命题：若x²=1，则x=1或x=-1的逆否命题为：若x≠1且x≠-1，则x²≠0，故B错误；
C：因为幂函数y=x^3n-7在x∈（0，+∞）上单调递减，
所以3n-7＜0，解得n＜

7

3

，又n∈N，
所以，n=0，1或2；又y=x^3n-7为偶函数，
所以，n=1，即幂函数y=x^3n-7为偶函数，且在x∈（0，+∞）上单调递减的充分必要条件为n=1，C正确；
D：令y=f（x）=log₂

x+m

3-x

，由其图象关于点（1，0）中心，得f（x）+f（2-x）=0，
即log₂

x+m

3-x

+log₂

(2-x)+m

3-(2-x)

=log₂

(x+m)(2+m-x)

(3-x)(1+x)

=0，

(x+m)(2+m-x)

(3-x)(1+x)

=1，
整理得：m²+2m-3=0，解得m=1或m=-3，
当m=-3时，

x+m

3-x

=-1＜0，y=log₂

x+m

3-x

不存在，故m=-3舍去，
故m=1．
所以，函数y=log₂

x+m

3-x

图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1，D错误；
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题之间的关系，考查充分必要条件的应用，属于中档题．