Question

6．设函数f（x）=$\frac{{a}^{2x}-（t-1）}{{a}^{x}}$ （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$），是否存在正数m（m≠1），使函数g（x）=log_m[a^2x+a^-2x-mf（x）]在[1，log₂3]上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由奇函数的性质可知f（0）=0，得出t=2；
（Ⅱ）根据f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$），求出a，从而得到g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，则t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$]，记h（t）=t²-mt+2，对底数m进行分类讨论，当0＜m＜1时，根据对数函数的单调性，将g（x）的最大值转化为h（t）的最小值，利用二次函数的性质，列出关于m的方程，求出m，当m＞1时，根据对数函数的单调性，将g（x）的最大值转化为h（t）的最小值，再根据对称轴与区间的位置关系，分别求解h（t）的最大值和最小值，根据题意进行求解m的值，最后判断所求m的值是否符合题意，从而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定义域为R的奇函数∴f（0）=0，∴t=2；    
（Ⅱ）假设存在正数m（m≠1）符合题意，
由a=2得$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$，
=${log_m}[{2^{2x}}+{2^{-2x}}-m（{2^x}-{2^{-x}}）]$，
=${log_m}[{（{2^x}-{2^{-x}}）^2}-m（{2^x}-{2^{-x}}）+2]$，
设t=2^x-2^-x，则（2^x-2^-x）²-m（2^x-2^-x）+2=t²-mt+2，
∵x∈[1，log₂3]，
∴$t∈[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$，
记h（t）=t²-mt+2，
∵函数$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值为0，
∴（ⅰ）若0＜m＜1，则函数h（t）=t²-mt+2在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$有最小值为1，
∵对称轴$t=\frac{m}{2}＜\frac{1}{2}$，∴${h_{min}}（t）=h（\frac{3}{2}）=\frac{17}{4}-\frac{3}{2}m=1$$⇒m=\frac{13}{6}$，不合题意；
（ⅱ）若m＞1，则函数h（t）=t²-mt+2＞0在$[\frac{3}{2}，\frac{8}{3}]$上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
①$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜\frac{m}{2}≤\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{8}{3}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1＜m≤\frac{25}{6}\\ m=\frac{73}{24}\end{array}\right.⇒m=\frac{73}{24}$，
又此时$\frac{m}{2}=\frac{73}{48}∈[{\frac{3}{2}，\frac{8}{3}}]$，$又h{（t）_{min}}=h（\frac{73}{48}）＜0$，
故g（x）无意义
所以$m=\frac{73}{24}应舍去$；
②$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{2}＞\frac{25}{12}\\ h{（t）_{max}}=h（\frac{3}{2}）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{25}{6}\\ m=\frac{13}{6}\end{array}\right.⇒m$无解，
综上所述：故不存在正数m（m≠1），使函数$g（x）={log_m}[{a^{2x}}+{a^{-2x}}-mf（x）]$在[1，log₂3]上的最大值为0．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数恒成立问题，函数最值的应用．利用f（0）=0，是解决本题的关键．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于难题．