Question

15．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）的解析式．
（2）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函数f（x）的解析式．
（3）已知f（2x+1）=4x²+8x+3，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）设出函数的解析式，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）以-x代替x得，得到关于f（-x），f（x）的方程组，消去f（-x），从而解出f（x）即可；
（3）设2x+1=t，则x=$\frac{1}{2}$（t-1），得到f（2x+1）=f（t），从而求出f（x）的表达式即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），
由题意得3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
即ax+5a+b=2x+17，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ 5a+b=17\end{array}$∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=7.\end{array}$∴f（x）=2x+7．
（2）当x∈（-1，1）时，有2f（x）-f（-x）=lg（x+1）．①
-x∈（-1，1），以-x代替x得，
2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）．②
由①②消去f（-x）得，
f（x）=$\frac{2}{3}$lg（x+1）+$\frac{1}{3}$lg（1-x），x∈（-1，1）．
（3）设2x+1=t，则x=$\frac{1}{2}$（t-1），
∴f（2x+1）=f（t）=4${[\frac{1}{2}（t-1）]}^{2}$+8[$\frac{1}{2}$（t-1）]+3=t²+2t，
所以f（x）=x²+2x．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查转化思想、对应关系以及换元思想，是一道中档题．