Question

已知数列{a_n}为等比数列且公比q＞2，a₂=9，6a₁+a₃=45．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{

1

bn

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意

a1q=9 6a1+a1q2=45

，
解得q=3或q=2（舍去）．
∴an=3•3n-1=3n，即an=3n．
（Ⅱ）∵log33n=n，
∴bn=1+2+…n=

n(n+1)

2

，

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
数列{

1

bn

}的前n项和为2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式性质、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．