Question

数列{a_n}满足a₁=1，na_n-1=（n-1）a_n-n（n-1），n≥2且n∈N⁺
（Ⅰ）证明：数列{

an

n

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=3^n-1•

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）变形利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）证：由已知可得

an

n

=

an-1

n-1

+1，
即

an

n

-

an-1

n-1

=1，
∴{

an

n

}是以

a1

1

=1为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

an

n

=1+(n-1)•1=n，
∴an=n2，
从而bn=n•3n-1，
Sn=1+2•31+3•32+…+n•3n-1①
3Sn=1•3+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n②
①-②得-2Sn=1+31+32+…+3n-1-n•3n，=

1-3n

1-3

-n•3n=

(1-2n)•3n-1

2

．
∴Sn=

(2n-1)•3n+1

4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．