Question

已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x＜0时，有-x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（-x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．
（2）由题意得m≤x-2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x-2）_min=-1，由此可得m的取值范围．

解答： 解：（1）当x＜0时，有-x＞0，
∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）由题意得x²-2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x-2≥m在1≤x≤2时都成立，
即m≤x-2在1≤x≤2时都成立．
而在1≤x≤2时，（x-2）_min=-1，∴m≤-1．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．