Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1）且f（0）=0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．
（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2^x-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式以及f（0）=1-

4

2+a

=0，求得a的值．
（Ⅱ）由题意可得，函数y=2^x 的图象和直线y=1-k有交点，故有1-k＞0，求得k的范围．
（Ⅲ）由题意可得当x∈（0，1）时，1-

2

2x+1

＞m•2^x-2恒成立．令t=2^x，则t∈（1，2），且 m＜

1

t

+

2

t+1

．利用单调性求得

1

t

+

2

t+1

＞

7

6

，从而可得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）对于函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），由f（0）=1-

4

2+a

=0，
求得a=2，故f（x）=1-

4

2•2x+2

=1-

2

2x+1

．
（Ⅱ）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k=2^x+1-2+k=2^x-1+k 有零点，
则函数y=2^x 的图象和直线y=1-k有交点，∴1-k＞0，求得k＜1．
（Ⅲ）∵当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2^x-2恒成立，即1-

2

2x+1

＞m•2^x-2恒成立．
令t=2^x，则t∈（1，2），且 m＜

3

t

-

2

t(t+1)

=

3t+1

t(t+1)

=

1

t

+

2

t+1

．
由于

1

t

+

2

t+1

在∈（1，2）上单调递减，∴

1

t

+

2

t+1

＞

1

2

+

2

2+1

=

7

6

，∴m≤

7

6

．

点评：本题主要考查指数函数的性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．