Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$（n=1，2，3，…，）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出这个数列的通项公式；
（Ⅱ）求S=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₇a₈的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由代入法，计算数列的前4项，猜想a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N*），可由数学归纳法证明；
（Ⅱ）由a_na_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，∴${a_2}=\frac{a_1}{{1+{a_1}}}=\frac{1}{2}，{a_3}=\frac{a_2}{{1+{a_2}}}=\frac{1}{3}，{a_4}=\frac{1}{4}$，
猜想${a_n}=\frac{1}{n}，（n∈{N^*}）$．
理由：当n=1时，a₁=1显然成立；
设n=k（k∈N*）a_k=$\frac{1}{k}$，
当n=k+1时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}$=$\frac{1}{1+k}$，
则n=k+1，猜想也成立．
则a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N*）；
（Ⅱ）S=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₇a₈，
即有$S=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{7×8}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{7}-\frac{1}{8}）=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$．

点评 本题考查数列的通项公式，注意运用猜想和证明，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．