Question

8．已知函数f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]．
（1）求f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x²）+[f（x）]²的定义域及值域．

Answer 1

分析 （1）由对数的性质直接求其值域
（2）先求出f（x²）、[f（x）]²的表达式，在求其y的定义域和值域．

解答 解：（1）∵对数的底数是3，大于1，f（x）是增函数，
∴在x∈[1，9]，当x=1时，f（x）取得最小值，即f（1）_min=2，
当x=9时，f（x）取得最大值，即f（9）_max=4，
故：f（x）的值域为[2，4]．
（2）由题意：f（x²）=2+2log₃x，定义域为x²∈[1，9]，
解得：x∈[1，3]，即定义域为x∈[1，3]．
[f（x）]²=（2+log₃x）²=4+4log₃x+（log₃x）²，定义域为x∈[1，9]．
那么：y=f（x²）+[f（x）]²=6+6log₃x+（log₃x）²，定义域为x∈[1，3]，
令log₃x=t，
∵x∈[1，3]，
∴0≤t≤1
则有：y=t²+6t+6
由二次函数性质可知：函数y开口向上，在t∈[0，1]是增函数．
∴当t=0时，y取得最小值，即y_min=6，当t=1时，y取得最大值，即y_max=13，
所以：y值域为[6，13]．
故：函数y=f（x²）+[f（x）]²的定义域为∈[1，3]，值域为[6，13]．

点评 本题考查了对数函数的图象及性质的运用能力，转化为二次函数后，利用二次函数的性质的能力．属于基础题．