Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象的一个最高点的坐标为（$\frac{π}{3}$，3），且当x₁+x₂=$\frac{7π}{6}$时，满足f（x₁）=-f（x₂）．
（1）当函数f（x）的周期最大时，求f（x）的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象上每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移$\frac{π}{12}$得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可求A，T，利用周期公式可求ω，利用f（x）=3sin（2x+φ）过点（$\frac{π}{3}$，3），可求φ的值，解得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可计算得解f（x）的单调递增区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数g（x）的解析式，进而利用正弦函数的图象和性质可求其值域．

解答 解：（1）∵最高点的坐标为（$\frac{π}{3}$，3），可得：3=Asin（$\frac{π}{3}$ω+φ）≤A，可得：A=3，
∵图象的一个最高点的坐标为（$\frac{π}{3}$，3），且当x₁+x₂=$\frac{7π}{6}$时，满足f（x₁）=-f（x₂）．
∴图象的一个最低点的坐标为（$\frac{5π}{6}$，-3），
∴当函数f（x）的周期最大时，周期T=2（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∵f（x）=3sin（2x+φ）过点（$\frac{π}{3}$，3），
∴可得：$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得：φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）将函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象上每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，
可得函数解析式为：y=3sin（4x-$\frac{π}{6}$），
再将所得函数图象向左平移$\frac{π}{12}$得到函数g（x）的图象，
可得函数解析式为：g（x）=3sin[4（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=3sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]，
∴4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得：sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，g（x）=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]，
可得：函数g（x）在[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]上的值域为：[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]．

点评 本题着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数值域的求法以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于中档题．