Question

17．已知F₁，F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{4}$，则双曲线E的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{4}$，
∴设MF₁=m，则MF₂=4m，
由双曲线的定义得4m-m=2a，即3m=2a，得m=$\frac{2}{3}$a，
在直角三角形MF₂F₁中，16m²-m²=4c²，即15m²=4c²，
即15（$\frac{2}{3}$a）²=4c²，
即5a²=3c²，
则$\sqrt{5}$a=$\sqrt{3}$c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．