Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*）．
（1）求S₁，S₂，S₃的值；
（2）求出S_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*），分别取n=1，2，3即可得出．
（2）由（1）可得：n≥2时，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．化为：S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$．猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．代入验证即可得出．
（3）b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*）=（-1）^n-1$\frac{1}{n（n+2）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，对n分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*），
∴n≥2时，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．
∴n=1时，$（{a}_{1}-1）^{2}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$=S₁．
n=2时，$（{S}_{2}-1）^{2}=（{S}_{2}-\frac{1}{2}）{S}_{2}$，解得S₂=$\frac{2}{3}$．
同理可得：S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）可得：n≥2时，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n（n∈N^*）．
化为：S_n=$\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$．（*）
猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$．
n≥2时，代入（*），左边=$\frac{n}{n+1}$；右边=$\frac{1}{2-\frac{n-1}{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴左边=右边，猜想成立，n=1时也成立．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，n=1时也成立．
∴S_n=$\frac{n}{n+1}$，a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（3）b_n=（-1）^n-1（n+1）²a_na_n+1（n∈N^*）=（-1）^n-1$\frac{1}{n（n+2）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴n=2k（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和为
T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和为
T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．
∴T_n=$\frac{1}{4}+（-1）^{n-1}$×$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了“裂项求和法”、数列递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．