Question

7．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线x²-$\frac{y^2}{4}$=1交于A、B两点，若△ABF是等边三角形，则该抛物线焦点F的坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可得出结论．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为：x=-$\frac{p}{2}$，
准线方程与双曲线联立解得y=±$\sqrt{{p}^{2}-4}$，
因为△ABF为等边三角形，所以$\sqrt{{p}^{2}+{y}^{2}}$=2|y|，即p²=3y²，
即p²=3×（p²-4），解得p=$\sqrt{6}$，
∴抛物线焦点F的坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．
故答案为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．