Question

2．如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，平面α过点A₁，B₁，且CC₁∥平面α，平面α与三棱台的面相交，交线围成一个四边形．
（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；
（Ⅱ）若AB=8，BC=2B₁C₁=6，AB⊥BC，BB₁=CC₁，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，二面角B₁-AB-C等于60°，求直线AB₁与平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）围成的四边形如图所示，它是平行四边形；
（Ⅱ）以BC，AB为x，y轴，B为原点建立如图直角坐标系B-xyz，求出平面α的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB₁与平面α所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）围成的四边形如图所示，它是平行四边形；
（Ⅱ）∵AB⊥BC，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，
且平面BB₁C₁C⊥平面ABC=BC，AB∩?平面ABC
∴AB⊥平面BB₁C₁C，
∴AB⊥BB₁，∠B₁BC是二面角B₁-AB-C的平面角，
∴∠B₁BC=60°，
以BC，AB为x，y轴，B为原点建立如图直角坐标系B-xyz，
由已知CC₁∥α，B₁M=α∩平面BB₁C₁C，知B₁M∥CC₁，
又由台体的性质，BC∥B₁C₁，
∴MCC₁B₁是平行四边形，
∴MC=B₁C₁=3，M是BC的中点，
又BB₁=CC₁，则B₁到平面ABC的距离，h=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
同理N是AC的中点，
A（0，-8，0），B（0，0，0），B₁（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），M（-3，0，0），
则$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{3}{2}$，8，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
设平面α的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-4y=0}\end{array}\right.$
得一个法向量是$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），
设直线AB₁与平面α所成角为θ，则sinθ=|$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}•\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+{8}^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$|=$\frac{3\sqrt{219}}{146}$．
∴直线AB₁与平面α所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{219}}{146}$．

点评 本题考查空间向量知识的运用，考查线面位置关系，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．