Question

8．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，则$\frac{AB}{BC}$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2a，BC=2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比．

解答 解：以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2a，BC=2b，
则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），
D（0，0，2b），
$\overrightarrow{FM}$=（-2b，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2a，2b），
∵FM与BD所成角为θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{BD}|}{\left|\overrightarrow{FM}\right|•\left|\overrightarrow{BD}\right|}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}\sqrt{{4a}^{2}+4{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
整理，得5a²b²+4b⁴-26a⁴=0，
∴-26×（$\frac{a}{b}$）⁴+5×（$\frac{a}{b}$）²+4=0，
解得（$\frac{a}{b}$）²=$\frac{1}{2}$，或 （$\frac{a}{b}$）²=-$\frac{4}{13}$ （舍），
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选：C．

点评 本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．