Question

10．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及其相应的x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，m）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最大值求出答案；
（Ⅱ）由正弦函数的减区间求出f（x）的减区间，结合条件求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$  
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$x=\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$时，
f（x）取到最大值为2； （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$
所以，函数法f（x）在区$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$间上单调递减，
∵f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，m）上单调递减，
∴$\frac{π}{6}＜m≤\frac{2π}{3}$，即实数m的取值范围是（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．（12分）

点评 本题考查正弦函数的性质，二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式，以及整体思想的应用．