Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥PD，异面直线PA与CD所成角等于60°．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；
（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为$\sqrt{5}$？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出PB⊥CD，CD⊥PD，从而CD⊥平面PBD，由此能证明平面PCD⊥平面PBD．
（2）以B为原点，BA、BC、BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD和平面PAD所成角的正弦值．
（3）求出平面DEB的一个法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出在棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为$\sqrt{5}$，E为棱PA上靠近A的三等分点．

解答 证明：（1）∵PB⊥底面ABCD，∴PB⊥CD，
又∵CD⊥PD，PD∩PB=P，PD，PB?平面PBD，
∴CD⊥平面PBD，∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBD．
解：（2）如图，以B为原点，BA、BC、BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知△BCD是等腰直角三角形，∴BC=4，
设BP=b（b＞0），则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），P（0，0，b），
则$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-b），$\overrightarrow{CD}$=（2，-2，0），
∵异面直线PA、CD所成角为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4+{b}^{2}}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=2，
∵$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
设平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设直线CD和平面PAD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线CD和平面PAD所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．
（3）假设棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为$\sqrt{5}$，
设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$，（0＜λ＜1），且E（x，y，z），则（x，y，z-2）=λ（2，0，-2），
∴E（2λ，0，2-2λ），设平面DEB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{BE}$=（2λ，0，2-2λ），$\overrightarrow{BD}$=（2，2，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=2λa+（2-2λ）c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=λ-1，得$\overrightarrow{m}$=（λ-1，λ-1，λ），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
∵平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为$\sqrt{5}$，
∴平面PAB与平面BDE所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1-λ}{\sqrt{2（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$或λ=2（舍），
∴在棱PA上存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为$\sqrt{5}$，E为棱PA上靠近A的三等分点．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．