Question

11．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²（1+3sin²θ）=4，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ₁，θ₀），B（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，求$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁的极坐标方程能求出曲线C₁的直角坐标方程；曲线C₂的参数方程消去参数，能求出C₂的普通方程．
（Ⅱ）由已知得$ρ_1^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}$，$ρ_2^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}（{θ_0}+\frac{π}{2}）}}$，由此能求出$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ²（1+3sin²θ）=4，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲线C₁的直角坐标方程${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ为参数）．
∴C₂的普通方程${C_2}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$．（5分）
（Ⅱ）∵A（ρ₁，θ₀），B（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，
∴$ρ_1^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}$，$ρ_2^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}（{θ_0}+\frac{π}{2}）}}$，
$\frac{1}{ρ_1^2}=\frac{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}{4}$，$\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{1+3{{cos}^2}{θ_0}}}{4}$，
∴$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}{4}+\frac{{1+3{{cos}^2}{θ_0}}}{4}=\frac{5}{4}$．（10分）

点评 本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．