Question

12．函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）＞0恒成立，若对任意的x，y∈R，都有f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
（1）求f（0）的值，并证明对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）；
（2）若f（-1）=3，解不等式$\frac{{f（{x^2}）•f（10）}}{f（7x）}$≤9．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法结合条件进行转化求解证明即可．
（2）根据抽象函数的关系进行转化，结合函数单调性进行求解即可．

解答 解：（1）令x=0，y=0得f（0）=$\frac{f（0）}{f（0）}$=1，
∴f（0）=1…（1分）
令x=a+b，y=b，则x-y=a，
又∵f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
∴f（a+b）=f（a）•f（b）…（4分）
∴f（x+y）=f（x）•f（y）…（5分），
（2）由（1）知f（x²）•f（10）=f（x²+10），
∴$\frac{{f（{x^2}）•f（10）}}{f（7x）}$=$\frac{f（{x}^{2}+10）}{f（7x）}$=f（x²-7x+10），
又∵f（-1）=3，∴9=3×3=f（-1）×f（-1）=f（-2）…（8分）
又∵$\frac{{f（{x^2}）•f（10）}}{f（7x）}$≤9．
∴f（x²-7x+10）≤f（-2）…（9分）
又∵f（x）在R上单调递减，
∴x²-7x+10≥-2…（10分），
解得：x≤3或x≥4，即原不等式的解集为（-∞，3）∪（4，+∞）…（12分）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用条件结合赋值法是解决本题的关键．