Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，若a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，则椭圆离心率e的取值范围为[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），将直线y=-x+1与椭圆方程联解，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理与直线方程求出用a、b表示x₁x₂+y₁y₂的式子，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，从而求得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=2，将b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，代入即可求得求得离心率的范围，由a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，求得椭圆离心率e的取值范围．

解答 解：将x+y-1=0代入椭圆方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$
而y₁•y₂=（1-x₁）（1-x₂）=$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，
∴a²+b²=2a²b²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=2，①
将b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，代入①得
2-e²=2a²（1-e²），
∴e²=$\frac{2{a}^{2}-2}{2{a}^{2}-1}$=1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$
∵a∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]，
∴$\frac{2}{3}$≤e²≤$\frac{8}{9}$，
而0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e≤$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，向量及圆锥曲线的综合应用，考查韦达定理的运用，属于难题．