题目内容

7．定义域与值域都是[-2，2]的两个函数f（x）、g（x）的图象如图所示（实线部分），则下列四个命题中，
①方程f[g（x）]=0有6个不同的实数根；
②方程g[f（x）]=0有4个不同的实数根；
③方程f[f（x）]=0有5个不同的实数根；
④方程g[g（x）]=0有3个不同的实数根；
正确的命题是（　　）
A．②③④B．①④C．②③D．①②③④

分析 通过f（x）=0可知函数有3个解，g（x）=0有2个解，具体分析①②③④推出正确结论．

解答 解：∵f（x）=0有3个不同的解，且一个在（-2，-1），一个为0，一个在（1，2）之间，
g（x）=0有2个解，一个为-2，一个在（0，1）之间，
①方程f[g（x）]=0有5个不同的实数根；
②方程g[f（x）]=0有4个不同的实数根；
③方程f[f（x）]=0有5个不同的实数根；
④方程g[g（x）]=0有3个不同的实数根．
正确的命题是②③④，
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，属于中档题．

练习册系列答案
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19．经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线的方程是（　　）
A．2x-y-6=0B．x-2y+3=0C．x+2y-3=0D．x-2y-3=0
18．设$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$都是非零向量，下列四个条件中，一定能使$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\overrightarrow{0}$成立的是（　　）
A．$\overrightarrow{a}$=-2$\overrightarrow{b}$B．$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$C．$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$D．$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$
15．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}$，则z=$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的最大值为（　　）
A．$\frac{5}{2}$B．$\frac{29}{10}$C．$\frac{25}{12}$D．3
2．在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=$\sqrt{2}$，∠ADC=45°．若AC=$\sqrt{2}$AB，则BD=2+$\sqrt{5}$．
12．函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）＞0恒成立，若对任意的x，y∈R，都有f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
（1）求f（0）的值，并证明对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）；
（2）若f（-1）=3，解不等式$\frac{{f（{x^2}）•f（10）}}{f（7x）}$≤9．
19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2}{3}$，b=$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的点，求证：以PF2为直径的圆与以AB为直径的圆相切；
（3）过左焦点F1作互相垂直的弦MN与GH，判断MN的中点与GH的中点所在直线l是否过x轴上的定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说出理由．
16．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F（$\sqrt{2}$，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

已知定义在上的函数满足，，则（ )

A． B． C． D．

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