Question

14．已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_2n，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞40+4n成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过设等比数列{a_n}的公比为q（q＞1）利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项可知2（a₃+2）=a₂+a₄，结合a₂+a₃+a₄=28可知a₃=8，再次利用a₂+a₃+a₄=28计算可知q=2，通过公式a_n=a₃•q^n-3计算即得结论；
（2）由（1）可知b_n=2n，利用等差数列的求和公式计算可知S_n=n²+n，进而问题转化为求不等式n²+n＞40+4n的最小正整数，计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞1，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
又∵a₂+a₃+a₄=28，
∴2（a₃+2）=28-a₃，
解得：a₃=8，
∴$\frac{8}{q}$+8+8q=28，整理得：2q²-5q+2=0，
解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
∴a_n=a₃•q^n-3=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_2n=2n，
则S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n，
∴S_n＞40+4n等价于n²+n＞40+4n，
整理得：n²-3n-40＞0，
解得：n＞8或n＜-5（舍），
于是满足条件的正整数n的最小值为9．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．