Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，是否存在直线l，使其截双曲线所得弦的中点为P（1，1）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 通过直线l过P（1，1）可设其方程为x=my+1-m，并与双曲线方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式可知y₁+y₂=2，进而计算可得结论．

解答 解：存在直线l：x=$\frac{4}{9}$y+$\frac{5}{9}$满足题意．
理由如下：
依题意，直线l过P（1，1），则
可设直线l方程为：x=my+1-m，
联立直线l与双曲线方程，消去x整理得：
（9m²-4）y²+18m（1-m）y+9（1-m）²-36=0，
设直线l与双曲线的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵弦AB的中点为P（1，1），
∴y₁+y₂=$\frac{18m（m-1）}{9{m}^{2}-4}$=2，
解得：m=$\frac{4}{9}$，
即存在直线l：x=$\frac{4}{9}$y+$\frac{5}{9}$，使其截双曲线所得弦的中点为P（1，1）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．