Question

5．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足$cos\frac{A}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$
（1）求△ABC的面积；
（2）求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知及倍角公式可求cosA，sinA，又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，得bccosA=3，解得bc=5，利用三角形面积公式即可得解．
（2）利用余弦定理可得a²=b²+c²-6，利用基本不等式即可得解．

解答 解：（1）因为：$cos\frac{A}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以：$cosA=2{cos^2}\frac{A}{2}-1=\frac{3}{5}$，（2分）
可得：$sinA=\frac{4}{5}$，（3分）
又因为：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，得bccosA=3，（4分）
可得：bccosA=3⇒bc=5，（5分）
$⇒{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=2$．（7分）
（2）∵bc=5，
∴${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA={b^2}+{c^2}-2×5×\frac{3}{5}$，（10分）
∴a²=b²+c²-6，（11分）
$\begin{array}{l}∴\;\;\;\;\;{a^2}={b^2}+{c^2}-6⇒{b^2}+{c^2}=6+{a^2}≥2bc=10\\∴\;\;\;\;\;\;\;{a_{min}}=2\end{array}$（12分）
当且仅当b=c=$\sqrt{5}$时a最小值是2．（14分）

点评 本题主要考查了倍角公式，平面向量数量积的运算，考查了三角形面积公式，余弦定理，基本不等式的综合应用，属于中档题．