Question

9．若 A，B是双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$上两个动点，且$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}=0$，则△AOB面积的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，设点A（x₁，y₁），y=kx与双曲线方程联立，可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，可求得|OA|²，|OB|²，|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．

解答 解：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x，
设点A（x₁，y₁），y=kx与双曲线方程联立，可得x₁²=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$，y₁²=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
∴|OA|²=x₁²+y₁²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，
同理|OB|²=$\frac{3+3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$，
故|OA|²•|OB|²=$\frac{（3+3{k}^{2}）^{2}}{-3+10{k}^{2}-3{k}^{4}}$
∵$\frac{{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}$≤$\frac{1}{4}$（当且仅当k=±1时，取等号）
∴|OA|²•|OB|²≥9，又b＞a＞0，
故S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|的最小值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质与三角形的面积，考查基本不等式，考查转化与综合运算及抽象思维能力，属于难题．