给出定义:若 m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$.则m叫做离实数x最近的整数.记作{x}.即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①函数y=f(x)的定义域是R.值域是(-$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$]②函数y=f(x)的图象关于y轴对称,③数y=f(x)的图象关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．给出定义：若 m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
②函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
③数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；
④函数y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函数；
则其中正确命题是①④（填序号）．

分析依据函数定义，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论

解答解：由题意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
则得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则命题①为真命题；
由于k∈Z时，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
故函数不是中心对称图形，故命题③为假命题；
由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，则得到f（x）=x-{x}为分段函数，且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]为增函数，故命题④为真命题．
进而可得：函数图象不可能关于y轴对称，故命题②为假命题；
正确的命题为①④
故答案为：①④

点评本题考查的知识点是，判断命题真假，我们可以根据给定函数的定义对四个结论逐一进行判断，属于中档题