Question

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．它的外接圆半径为6．∠B，∠C和△ABC的面积S满足条件：S=a²-（b-c）²且sinB+sinC=

4

3

．
（1）求sinA； 
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）△ABC的面积S满足条件：S=a²-（b-c）² 从而求出sinA=4（1-cosA）即可解得sinA的值；
（2）sinB+sinC=

4

3

．外接圆半径为6从而可求得b+c=16，故S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc，当b=c=8时，S最大=

256

17

．

解答： 解：（1）S=a²-b²-c²+2bc
=2bc-2bccosA
=2bc（1-cosA）．
又S=

1

2

bcsinA
∴2bc(1-cosA)=

1

2

bcsinA⇒sinA=4（1-cosA）
联立得：

sin2A+cos2A=1 sinA=4(1-cosA)

得：16（1-cosA）²+cos²A=1⇒（17cos²A-15）（cosA-1）=0
∵0＜A＜π，
∴cosA-1≠1
∴cosA=

15

17

从而得：sinA=

8

17

（2）S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc
∵sinB+sinC=

4

3

，
∴

b

2R

+

c

2R

=

4

3

∵R=6，
∴b+c=16
∴S=

4

17

bc=

4

17

b(16-b)=-

4

17

(b2-16b)=-

4

17

(b-8)2+

256

17

∴当b=c=8时，S最大=

256

17

．

点评：本题主要考察了正弦定理，余弦定理，二次函数的图象和性质以及三角形面积公式的综合应用，属于中档题．