题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知函数f（A，C）=cos2A+sin2C，求f（A，C）的最大值．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知函数f（A，C）=cos2A+sin2C，求f（A，C）的最大值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小；
（Ⅱ）把C用A来表示，在sin（2A+
）=1取最大值．
（Ⅱ）把C用A来表示，在sin（2A+
| π |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理求得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=
∴B=
（Ⅱ） f（A，C）=cos2A+sin2C=cos2A+sin2（
-A）=1+
sin（2A+
），
∵sin（2A+
）≤1，
∴在sin（2A+
）=1时，f（A，C）取最大值．最大值为1+
．
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理求得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ） f（A，C）=cos2A+sin2C=cos2A+sin2（
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵sin（2A+
| π |
| 3 |
∴在sin（2A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的最值等问题．要求学生综合运用学科知识解决问题的能力．
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